Det drejer sig om cirklen
Cirklens areal
Løsningsforslag
Nederst på siden kan du finde løsningsforslag til nogle af opgaverne.
De gamle egyptere beskæftigede sig allerede for 4.000 år siden med geometristudier. De kunne ikke beregne arealet af en cirkel helt nøjagtigt, men havde nogle idéer til en tilnærmet beregning af cirklens areal. De havde fundet ud af, at hvis man trak lidt af cirklens diameter fra, fx 1/9, så ville arealet svare til arealet af et kvadrat med tilsvarende sidelængde. Dette kaldes kvadraturmetoden.
1. Forsøg at efterligne de gamle egypteres kvadraturmetode i GeoGebra-vinduet nedenfor.
2. Find arealet af cirklen og kvadratet ved hjælp af GeoGebra.
Ved at bruge formlen for arealet af et kvadrat med $\frac{8}{9}$ af cirklens diameter som kvadratets sidelængde kunne egypterne komme meget tæt på det faktiske areal af en cirkel.
De kunne også bestemme et tal, der faktisk kom meget tæt på tallet $\pi$ (pi), som du kan se i udregningen herunder.
\begin{align*} {\displaystyle A\approx \left({\frac {8}{9}} \cdot d\right)^{2}={\frac {256}{81}} \cdot r^{2}=3{,}16049 \cdot r^{2}} \end{align*}
Men nu hvor man kendte til forholdet mellem enhver cirkels radius og omkreds, og dermed til tallet $\pi$, kunne man også beregne cirklens areal ved hjælp af $\pi$.
Arealet af en cirkel er givet ved følgende formel:
\begin{align*} A= \pi \cdot r^{2} \end{align*}
3. Sammenlign de gamle egypteres formel og formlen herover. Hvor tæt var de gamle egypteres kvadraturmetode på den egentlige formel for cirklens areal?
Nu skal du undersøge et bevis for formlen for cirklens areal.
4. Se på GeoGebra-vinduet herunder, og brug skyderen til at ændre på figuren. Hvad viser den?
5. Lav en formel for arealet af det rektangel, der er blevet dannet med cirklens dele.
6. Hvordan kan du nu vise, at rektanglets areal svarer til cirklens areal? Benyt formlen for cirklens areal, som du blev præsenteret for tidligere: $$A = \pi \cdot r^2$$
Udfordringsopgave
Forklar og beskriv beviset herunder med dine egne ord.
Opgave 3
Egypternes formel: ${\displaystyle A\approx 3{,}16049 \cdot r^{2}}$
Den egentlige formel: $A_{cirkel}= \pi\cdot r^{2}$
$\pi\approx 3,14154$
Egypterne kom rimelig tæt på. Deres estimat var kun få decimaler ved siden af.
Opgave 4
Figuren til højre er et parallelogram, der nærmer sig et rektangel. Men figuren vil aldrig helt blive til et rektangel, derfor er det mere et visuelt bevis end et egentligt bevis. I opgaven her er der dog lagt op til, at du ser og arbejder med figuren som et rektangel.
Opgave 6
Arealet af rektanglet kan skrives som: $A_{rektangel}=r\cdot \frac{1}{2}O$
Opgave 7
$A_{rektangel}=r\cdot \frac{1}{2}O$
$\frac{1}{2}O= \pi \cdot r$
$A_{rektangel}=r\cdot \pi \cdot r = \pi\cdot r^{2}$
Det svarer til arealet af en cirkel: $A_{cirkel}= \pi\cdot r^{2}$